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不等距网格上求解ODE特征值问题若干高精度格式的计算与分析: 2014年; 本文针对不等距网格,从Raylei曲商(Raylei曲quotient)角度出发,构造了若干求解ODE特征值问题的高阶格式,并进行误差分析.文中高阶格式的构造是基于线性有限元及其对应的差分格式进行的.单纯的线性有限元及其对应的差分格式求解PDE特征值问题都只有二阶精度,我们利用质量集中和加权组合的思想通过将二者结合得到四阶精度的算法.本文从理论和实验的角度构造高阶格式并进行了相应的误差分析.通过在五种网格上计算四阶精度格式的误差阶系数,将四阶格式加权组合的新格式甚至可以达到六阶精度.最后用数值实验验证了构造的高阶格式的误差阶.同时,本文构造的两种四阶格式相对于传统的线性有限元方法,在同等量级误差的要求下,需要的网格数有量级的减少.; 张慧荣曹建文孙家昶; 关键词：特征值问题

针对对称对角占优线性系统的组合预条件算法: 2015年; 本文针对对角占优的对称矩阵(SDD)构成的稀疏线性系统,采用组合预处理技术从谱逼近角度分析并实现一种新型的预条件子.其与ILU类预条件子和AMG类预条件子相比,具有更高的并行可扩展性,满足通量守恒或者等效电阻原理.SDD矩阵通过数学上的规约手段,可以约化为标准的Laplace矩阵,其对应于图论中的无向图.基于此我们首先利用Ofer等提出的算法建立具有low stretch度量的一类生成树.然后采用树分解算法将生成树分解为子树,通过对子树选择合适的连接边进行加边修正得到相应的增广子图.最后将增广子图对应的Laplace矩阵转化为SDD矩阵,该矩阵即为原系数矩阵的预条件子.数值实验表明,与不完全Cholesky分解预条件子相比,该类预条件子更高效,其收敛速度对问题边界类型以及矩阵排序算法不敏感,并且其效率对矩阵规模增长不太敏感.; 张慧荣曹建文

重访听音辩鼓问题: 2018年; 听音辨鼓这个反问题发展至今已经半个世纪，许多数学和物理学家都做出了很多有益的贡献．这个挑战性问题由美国数学家M．Kac1966年正式提出，用数学语言描述为欧几里得空间中，是否可以找到两个（或更多）非等距单连通区域是等谱的？C．Gordon等人1992年在二维平面上给出一对等谱区域，首次对Kac的问题说“No”．问题发展至今，只有17类平面等谱区域．它们都遵循一系列镜像反演规则，成对等谱，保持反演规则不变，改变基本构建块的形状，可以形成无穷多同类的等谱对．本文重访17类等谱区域，探究构建块之间的镜像反演规则．通过折叠方法，建立17类等谱区域特征函数之间的迁移映射关系．结合符号计算，列出17类等谱区域移植矩阵的通解．此外，利用Bernstein—Bezier多项式，计算等谱区域的广义特征值．; 刘小会曹建文张娅

偏微分方程特征值计算的上下界分析与高精度格式构造被引量：5: 2015年; 本文指出协调有限元给出偏微分方程(PDE)特征值上界的本质等价于不等式(u_h,u_h)≤(u,u_h)≤(u,u),由此推导出同精度的下界格式;进而当a(u-u_h,u_h)=O(γ||u-u_h||_(L^2)_2)时,构造同样精度的高阶格式,如λ_H:=2A(u_h,u_h)/(u,u)+(u_h,u_h).本文分别以矩形、三角形和六面体均匀网格上的线性元和多线性元为例,分析相应高阶格式成立的两个关键条件:能量内积投影空隙a(u-u_h,u_h)=O(||u-u_h||_(L^2)_2)和特征函数真解的L^2范数(u,u)在离散网格中l^2的保范逼近.所附数值例子中的计算与文中证明的理论相吻合,对某些区域上的二维、三维Laplace问题列出若干高阶格式(六阶、八阶、十阶)的前几十个特征值计算结果,表明所提出的高精度格式对于奇异特征函数及高频特征值的计算也有效.; 孙家昶曹建文张娅

美式期权定价的分数阶偏微分方程组及其数值离散方法被引量：2: 2014年; KOBOL、FMLS、CGMY等无限跳跃活动Levy模型下,期权定价可以表达为分数阶偏微分方程.欧式期权在部分情况下有解析表达式计算,而美式期权定价属于线性互补问题,在这些无限跳跃活动模型下表达为包含分数阶偏微分方程的方程组,其同欧式期权定价相比更加复杂,只能采用数值方法.■在Cartea导出的欧式期权方程基础上,本文利用线性互补理论推导出针对美式期权的分数阶偏微分方程组,利用罚方法将分数阶偏微分方程组转化为单一方程,采用Grünwald公式对分数阶偏微分方程设计出相应的数值离散格式,利用有限差分方法得到了每个时间步上的线性方程系统,采用迭代算法进行了线性方程的求解,并进行了数值实验和结果分析,以此来证明分数阶偏微分方程组及其数值离散格式的有效性.基于分数阶偏微分方程对美式期权定价方程组的推导和相应的数值离散格式,在当前的文献中未见报道.; 席钧曹建文; 关键词：美式期权欧式期权线性互补问题

New schemes with fractal error compensation for PDE eigenvalue computations被引量：6: 2014年; With an error compensation term in the fractal Rayleigh quotient of PDE eigen-problems,we propose a new scheme by perturbing the mass matrix Mhto Mh=Mh+Ch2mKh,where Khis the corresponding stif matrix of a 2m 1 degree conforming finite element with mesh size h for a 2m-order self-adjoint PDE,and the constant C exists in the priority error estimationλh jλj^Ch2mλ2j.In particular,for Laplace eigenproblems over regular domains in uniform mesh,e.g.,cube,equilateral triangle and regular hexagon,etc.,we find the constant C=I h 1Mh2 hKh and show that in this case the computation accuracy can raise two orders,i.e.,fromλh jλj=O(h2)to O(h4).Some numerical tests in 2-D and 3-D are given to verify the above arguments.; SUN JiaChang

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国家自然科学基金(91230109)